二分算法

二分模板

二分模板一共有两个，分别适用于不同情况。

版本1

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。 C++ 代码模板：

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

版本2

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。 C++ 代码模板：

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

使用心的

假设有一个总区间，经由我们的 check 函数判断后，可分成两部分， 若以o作 true，…..作 false 示意较好识别

如果我们的目标是下面这个v，使用模板 1

................vooooooooo

假设经由 check 划分后，整个区间的属性与目标v如下，则使用模板 2

oooooooov................

模板1就是在满足chek()的区间内找到左边界，模板2在满足check()的区间内找到右边界。

二分可以将求解类型的问题 转换为 判定型问题

实数域上的二分算法

实数域上的二分较为简单，确定好需要的的精度 eps, 以 left + eps < right 为循环条件，每次根据在 mid 上根据判定选择 left = mid, right = mid 分支之一即可。

double binary_search(double left, double right){
    while(left + 1e-5 < right){
        double mid = (left + right) / 2;
        if(check(mid)) left = mid;
        else right = mid;
    }
    return mid;
}

参考

链接：https://www.acwing.com/blog/content/31/